Cho các số x, y thỏa mãn x^2+2y^2+2xy−4x−10y+13=0 Tính giá trị của biểu thức P=(x+2)^2024+(y−4)^2024

\({x^2} + 2{y^2} + 2xy - 4x - 10y + 13 = 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 4 + {y^2} - 6y + 9 = 0\)

\({(x + y)^2} - 4(x + y) + 4 + {(y - 3)^2} = 0\)

\({(x + y - 2)^2} + {(y - 3)^2} = 0\)

Có \({(x + y - 2)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), \(y\)

\({(y - 3)^2} \ge 0\) với mọi \(y\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right.\).

Thay \(x = - 1\), \(y = 3\) vào biểu thức \(P\), ta có:

\(P = {( - 1 + 2)^{2024}} + {(3 - 4)^{2024}}\)\( = {1^{2024}} + {( - 1)^{2024}} = 1 + 1 = 2\).