Cho các số x,y thỏa mãn đẳng thức: 5x^2+5y^2+8xy−2x+2y+2=0. Tính giá trị của biểu thức M=(x+y)^2023+(x−2)^2024+(y+1)^2025.

Ta có \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\)

\[\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\]

\[{\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\]

Vì \[{\left( {2x + 2y} \right)^2} \ge 0;{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\] nên ta có:

\[{\left( {2x + 2y} \right)^2} = 0;{\left( {x - 1} \right)^2} = 0;{\left( {y + 1} \right)^2} = 0\] hay \[x + y = 0;x = 1;y = - 1\]

Thay \[x + y = 0;x = 1;y = - 1\] vào biểu thức \[M\] ta có:

\(M = {0^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {\left( { - 1 + 1} \right)^{2025}}\)

\(M = 0 + {\left( { - 1} \right)^{2024}} + {0^{2025}}\)

\(M = 1\)