$b) Ta có \({\left( {a - 4} \right)^2} = 1 (ảnh 1)$

1) Tứ giác \(AMCN\) có hai đường chéo \(AC\) và \(MN\) cắt nhau tại \(H\) là trung điểm của mỗi đường nên \(AMCN\) là hình bình hành.

Mà \(MN \bot AC\) nên hình bình hành \(AMCN\) là hình thoi.

2) Ta có \(AB \bot AC\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) và \(MN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\).

Vì \(AMCN\) là hình thoi nên \(AN\,{\rm{//}}\,CM\), mà \(M\) thuộc \(BC\) nên \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(AN\,{\rm{//}}\,BM.\)

Tứ giác \(ABMN\) có \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) và \(AN\,{\rm{//}}\,BM\) nên \(ABMN\) là hình bình hành.

3) Vì \(AMCN\) là hình thoi nên \(CN\,{\rm{//}}\,AM\), tức là \(NI\,{\rm{//}}\,AM\).

Vì \(ABMN\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) và \(AB = MN\), suy ra \(AI\,{\rm{//}}\,MN\).

Tứ giác \(AMNI\) có \(NI\,{\rm{//}}\,AM\) và \(NI\,{\rm{//}}\,AM\) nên \(AMNI\) là hình bình hành.

Suy ra \(AI = MN\).

Do đó \(AI = AB\).

Mà \(A\) thuộc \(BI\) nên \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BI\).

4)

$b) Ta có \({\left( {a - 4} \right)^2} = 1 (ảnh 2)$

Vì \(ABMN\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó \(O\) là trung điểm của \(AM\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(H\) là trung điểm của \(MN\) và \(AB = MN\) (do \(ABMN\) là hình bình hành) nên \(AK = HM = \frac{{AB}}{2}\).

Lại có \(AK\,{\rm{//}}\,HM\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,MN\)) nên tứ giác \(AKMH\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(AM\) và \(KH\) cắt nhau tại trung điểm của \(AM\), tức là \(KH\) đi qua \(O\).

Vậy ba điểm \(H,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2x − 2y + 2 = 0