Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 5 và x – y + z = 3. Giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{x + y-2}}{{z + 2}}\) là

Đáp án đúng là: A

Từ điều kiện ta có x² + y² = \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x-y} \right)}^2}}}{2}\) = 5 – z²

(x + y)² = 10 – 2z² – (3 – z)²

Do đó (x + y)² = 1 + 6z – 3z²

Dễ thấy z ≠ –2. Ta có P(z + 2) + 2 = x + y

Do đó [P(z + 2) + 2]² = 1 + 6z – 3z²

⇔ (z + 2)²P² + 4(z + 2)P + 4 = 1 + 6z – 3z²

⇔ (P² + 3)z² + (4P² + 4P – 6)z + 4P² + 8P + 3 = 0

Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi

∆_z’ ≥ 0 ⇔ (2P² + 2P – 3)² – (P² + 3)(4P² + 8P + 3) ≥ 0

\( \Leftrightarrow -\frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\)

Ta có maxP = 0 khi x = 2, y = 0, z = 1.