Cho các số thực x , y , z thay đổi và thoả mãn x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 − x y z = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 3x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 .

a)   Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thoả mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2}\).

\(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2}\)\( = 2{x^2} + {x^2} + {y^2} + {z^2}\)

Từ giả thiết, nếu tồn tại bộ số \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thoả mãn bài toán.

                 Thì bộ số \(\left( { - {x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cũng thoả mãn bài toán.

                 Không giảm tính tổng quát, ta giả sử \(x \ge 0\).

 Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\), nên \({x^2} + {\left( {y + z} \right)^2} = 4 + \left( {2 + x} \right)yz\)

 Do đó \({x^2} + {\left( {y + z} \right)^2} = 4 + \left( {2 + x} \right)yz \ge {x^2}\) nên \(\left( {2 + x} \right)yz \ge {x^2} - 4\) suy ra \(yz \ge x - 2\).

Ta biến đổi \(F = 2{x^2} + xyz + 4\).

                 Ta có \(F = 2{x^2} + xyz + 4 \ge 2{x^2} + x.\left( {x - 2} \right) + 4\)=\(3{x^2} - 2x + 4 = 3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{11}}{3}\).    

                 Vì \({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), do đó \(F \ge \frac{{11}}{3}\).

Vậy, biểu thức \(F\)có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{11}}{3}\) khi \(x = \frac{1}{3}\) và \(y =  - \frac{{\sqrt {15} }}{3}\); \(z = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\)

b) Từ một tấm bìa hình vuông có cạnh dài \(21\,cm\), bạn Nga cắt ra một hình có dạng như trong hình vẽ (phần được tô đậm, giới hạn bởi các đoạn thẳng và một cung tròn). Biết rằng hình tròn có diện tích \(113,04c{m^2}\) và có tâm trùng với tâm của hình vuông. Các điểm \[E;F\] là giao điểm của hai đường chéo hình vuông với đường tròn. Tính độ dài đường viền của hình thu được (lấy \(\pi  \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Bán kính đường tròn tâm \(O\) là: \(S = \pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{113,04}}{{3,14}}}  = 6\,\,cm\)

Vì \(AC\) và \(BD\) là 2 đường chéo của hình vuông nên \(AC\) vuông góc với \(BD\) do đó \(\widehat {EOF} = 90^\circ \)

Độ dài cung \(EF\) lớn là: \[2.3,14.6 - \frac{{3,14.6.90^\circ }}{{180^\circ }} = 28,26\,\,cm\]

Dễ thấy \(AO = BO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{21\sqrt 2 }}{2}\)

Lại có: \(BF = AE = OA - OE = \frac{{21\sqrt 2 }}{2} - 6\)

Độ dài đường viền của hình thu được là: \(28,26 + 2.\left( {\frac