Cho các số thực x,y thỏa mãn log x^2 + y^2 + 2 của (2x - 4y + 3) >= 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x + 4y có dạng 5 căn bậc hai M + m với M,m thuộc Z. Tính tổng M + m.

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 3} \right) \ge 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 \ge {x^2} + {y^2} + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 6\) là hình tròn (C) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Ta lại có \(P = 3x + 4y \Rightarrow 3x + 4y - P = 0\) là phương trình đường thẳng d.

Để tồn tại cặp số \(x,y\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) phải có điểm chung.

Khi đó \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 8 - P} \right|}}{5} \le \sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow \left| {P + 5} \right| \le 5\sqrt 6 \)\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  \le P + 5 \le 5\sqrt 6 \)

\( \Leftrightarrow  - 5\sqrt 6  - 5 \le P \le 5\sqrt 6  - 5\).

Do đó \({P_{\max }} = 5\sqrt 6  - 5 \Rightarrow M = 6;m =  - 5\).

Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\).

Trả lời: 1.