Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x > 2y và phương trình log₂(1 + x^2 + y^2/( x − 2y) = 4^(x − 2y) − 2·2^(x^2 + y^2 + 1). Những phương án nào dưới đây đúng?

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).Cho các số thực \(x;y\)thỏa mãn điều kiện \(x > 2y\) và phương trình \({\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\). Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Có duy nhất 1 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

2. Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn giả thiết là một đường tròn có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

3. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x - 4y\)là 21.

4. Gọi \(M,m\)lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x - 4y\). Khi đó \(M \cdot m = 21\).

Giải thích

\({\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) + {2^{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\log _2}\left( {2x - 4y} \right) + {2^{2x - 4y}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}\) với \(t > 0\).

Có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + {2^t}\ln 2 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến.

Khi đó \(f\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) = f\left( {2x - 4y} \right) \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} = 2x - 4y\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) (*).

1. Sai. Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên để \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) thì ta có:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 4\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\\y = - 2\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y + 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Suy ra có hai cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn \(x > 2y\) và phương trình đã cho.

2. Đúng. Theo (*), ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = 2\).

3. Đúng. Xét đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\).

Để tồn tại điểm \(\left( {x;y} \right)\) thì đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - P = 0\) phải giao với đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).

Tức là \(d\left( {I,\Delta } \right) \le R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 1 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) - P} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} \le 2\)\( \Leftrightarrow \left| {11 - P} \right| \le 10\)\( \Leftrightarrow 1 \le P \le 21\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\)là 21.

4. Đúng. Theo câu 3) ta có \(M = 21;m = 1\). Suy ra \(M \cdot m = 21\). Chọn 2, 3, 4.