Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 – 5x – 15y + 8 ≤ 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y là

Đáp án đúng là: A

Từ S = x + 3y suy ra x = S – 3y, thay vào 5x² + 5y² – 5x – 15y + 8 ≤ 0 ta được

5(S – 3y)² + 5y² – 5(S – 3y) – 15y + 8 ≤ 0

⇔ 5(S² – 6Sy + 9y²) + 5y² – 5S + 15y – 15y + 8 ≤ 0

⇔ 50y² – 30Sy + 5S² – 5S + 8 ≤ 0 (*)

Đặt f(y) = 50y² – 30Sy + 5S² – 5S + 8.

f(y) có a_y = 50 > 0 và

∆_y’ = (–15S)² – 50.(5S² – 5S + 8)

= –25S² + 250S – 400

= –25(S² – 10S + 16)

Để bất đẳng thức (*) có nghiệm y thì Δ ≥ 0, tức là –25(S² – 10S + 16) ≥ 0

⇔ 2 ≤ S ≤ 8.

Do đó minS = 2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 50y² – 60y + 18 = 0 ⇔ y = \(\frac{3}{5}\). Khi đó nên \[x = 2-3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}.\]

Vậy minS = 2.