Cho các số thực x , y thỏa mãn bất phương trình 5 x^ 2 + 5 y^ 2 − 5 x − 15 y + 8 ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3 y .

Do \[S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y\], thay vào giả thiết \(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\) và viết theo hệ số của biến \(y\) ta thu được

\(50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\).

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi \(y\) nên ta có \(\Delta  \ge 0\), tức là

\(900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0\).

Biến đổi tương đương ta thu được \( - 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0\)

hay \(100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8\).

Khi \[S = 2\] thay vào (*) được \(50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}\) nên \(x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) là 2 tại \(x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}\).