Cho các số thực x,y thỏa mãn 4^x^2 +4y^2 -2^x^2 +4y^2 +1=2^3-x^2 -4y^2 -4^2-x^2 -4y^2

Đáp án A

- Đặt ẩn phụ t=2x2+4y2  t≥1, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa x,y dạng ax2+by2=1.

- Đặt ax=sinαby=cosα, thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng Asinα+Bcosα=C. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định M, m.

Ta có:

4x2+4y2-2x2+4y2+1=23-x2-4y2-42-x2-4y2⇔2x2+4y22-2.2x2+4y2=82x2+4y2-162x2+4y22

Đặt t=2x2+4y2  t≥1, phương trình trở thành:

t2-2t=8t-16t2⇔t2-2t=8t-16t2⇒t3t-2=8t-2⇒t3-8t-2=0⇔t-22t2+2t+4=0⇔t=2  tm  do  t2+2t+4>0  ∀t

Với 2x2+4y2=2⇔x2+4y2=1. Khi đó tồn tại α sao cho x=sinα2y=cosα.

Ta có:

P=x-2y-1x+y+4=sinα-cosα-1sinα+12cosα+4⇔Psinα+12Pcosα+4P=sinα-cosα-1⇔P-1sinα+12P+1cosα=-1-4P  *

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

⇒P-12+12P+12≥-1-4P2⇔P2-2P+1+14P2+P+1≥16P2+8P+1⇔594P2+9P-1≤0⇔-18-43559≤P≤-18+43559⇒M=-18+43559m=-18-43559⇒M+m=-3659