Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của P = 9xy + 10yz + 11zx là

Đáp án đúng là: D

Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = 1 thì

P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x) = 9xy + (1 – x – y)(10y + 11x)

Khai triển và rút gọn, ta thu được: P = –11x² – 10y² + 11x + 10y – 12xy

Tương đương với 11x² + (12y – 11)x + 10y² – 10y + P = 0 (*)

Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức Δ = (12y – 11)² – 44(10y² – 10y + P) ≥ 0

Hay –296y² + 176y + 121 – 44P ≥ 0

\( \Leftrightarrow P \le -\frac{{74}}{{11}}\left( {{y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}}} \right)\)

Ta có \({y^2}-\frac{{22}}{{37}}y-\frac{{121}}{{296}} \ge -\frac{{54\,\,45}}{{10\,\,952}}\)

Suy ra \(P \le \left( {-\frac{{74}}{{11}}} \right) \cdot \left( {-\frac{{5\,\,445}}{{10\,\,952}}} \right) = \frac{{495}}{{148}}\)

Vậy \(maxP = \frac{{495}}{{148}}.\)