Cho các số thực không âm \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn điều kiện

Từ \({x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 64z \le 0\)\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 72z - \left( {8x + 8y + 8z} \right) \le 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 72z \le 8\left( {x + y + z} \right)\) hay \(x + y + z \ge \frac{{{x^2} + {y^2} + 72z}}{8}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\( \bullet \) \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\( \bullet \) \(2xy + 72z \ge 2\sqrt {2xy \cdot 72z}  = 24\sqrt {xyz} \)

Do đó: \({x^2} + {y^2} + 72z \ge 2xy + 72z \ge 24\sqrt {xyz} \)\( \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2} + 72z}}{8} \ge 3\sqrt {xyz} \)

\( \Rightarrow x + y + z \ge 3\sqrt {xyz} \) hay \(\frac{{x + y + z}}{3} \ge \sqrt {xyz} \)

Dấu  xảy ra khi \(x = y = z = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{{72}}{{17}}\\z = \frac{{144}}{{289}}\end{array} \right.\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.