Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn căn bậc hai của a + căn bậc hai của b + căn bậc hai của c =3.

3a2+2ab+3b2=2(a+b)2+(a−b)2≥2(a+b)2

⇒3a2+2ab+3b2≥2(a+b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Chứng minh tương tự ta có: 3b2+2bc+3c2≥2(b+c)

3c2+2ca+3a2≥2(c+a)

P=3a2+2ab+3b2+3b2+2bc+3c2+3c2+2ca+3a2 (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a+1≥2a;b+1≥2b;c+1≥2c

⇒a+b+c≥2(a+b+c)−3=3 (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Từ (1) và (2) suy ra: P≥62. Đẳng thức xảy ra ⇔a=b=c=1.

Vậy minP=62, khi a=b=c=1.