Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1/8 Chứng minh rằng

Đặt p = x+y+z; q = xy + yz + zx

Điều cần cm trở thành \[\frac{1}{q} - \frac{1}{p} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow q \ge \frac{{3p}}{{2p + 3}}\]

Mà \[{\left( {xy + yz + zx} \right)^2} \ge 3xyz\left( {x + y + z} \right) = \frac{3}{8}\left( {x + y + z} \right) \Leftrightarrow {q^2} \ge \frac{3}{8}p\]

Nên ta chỉ cần cm \[\frac{3}{8}p \ge {\left( {\frac{{3p}}{{2p + 3}}} \right)^2}\]

Thật vậy \[\frac{3}{8}p \ge {\left( {\frac{{3p}}{{2p + 3}}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{p^2} - 12p + 9 \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {2p - 3} \right)^2} \ge 0\] (Luôn đúng). Suy ra đpcm.