Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

x2+y2+z2=3xyz⇒xyz+yxz+zxy=3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xyz;yxz ta có: xyz+yxz≥2xyz.yx=2z

Tương tự ta cũng có: yxz+zxy≥2x; zxy+xyz≥2y

⇒xyz+yxz+yxz+zxy+zxy+xyz≥2z+2x+2y⇒xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z⇒1x+1y+1z≤3

Lại có: x4+yz≥2x4yz=2x2yz⇒x2x4+yz≤12yz=14.2.1y.1z≤14(1y+1z)

Tương tự y2y4+xz≤14(1x+1z);z2z4+xy≤14(1x+1y)

Suy ra

P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤14(2x+2y+2z)=12(1x+1y+1z)≤32=>P≤32

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 32 khi x = y = z = 1.