Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

\[P = \frac{{x{y^3}}}{{\frac{{{y^3}}}{2} + \frac{{{y^3}}}{2} + 4}} + \frac{{y{z^3}}}{{\frac{{{z^3}}}{2} + \frac{{{z^3}}}{2} + 4}} + \frac{{z{x^3}}}{{\frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + 4}}\]

\[P \le \frac{{x{y^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{y^3}}}{2}.\frac{{{y^3}}}{2}.4}}}} + \frac{{y{z^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{z^3}}}{2}.\frac{{{z^3}}}{2}.4}}}} + \frac{{z{x^3}}}{{3.\sqrt[3]{{\frac{{{x^3}}}{2}.\frac{{{x^3}}}{2}.4}}}} = \frac{{x{y^3}}}{{3{y^2}}} + \frac{{y{z^3}}}{{3{z^2}}} + \frac{{z{x^3}}}{{3{x^2}}}\]

\[P \le \frac{{xy + yz + zx}}{3}\]

Lại có \[{\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0{\rm{ }}\forall x,y,z\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right)\]

\[ \Leftrightarrow xy + yz + zx \le \frac{{\left( {x + y + z} \right)}}{3} = \frac{{{6^2}}}{3} = 12\]

\[ \Rightarrow P \le \frac{{12}}{3} = 4\]

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 2\]

Vậy \[MaxP = 4 \Leftrightarrow x = y = z = 2\]