Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có:

P=xy3y32+y32+4+yz3z32+z32+4+zx3x32+x32+4

P≤xy33⋅y32⋅y32⋅43+yz33⋅z32⋅z32⋅43+zx33⋅x32⋅x32⋅43=xy33y2+yz33z2+zx33x2

P≤xy+yz+zx3

Lại có x−y2+y−z2+z−x2≥0,  ∀x,y,z

⇔x2+y2+z2≥xy+yz+zx

⇔x+y+z2≥3xy+yz+zx

⇔xy+yz+zx≤x+y+z3=623=12

⇒P≤123=4

Dấu "=" xảy ra khi x=y=zx+y+z=6⇔x=y=z=2.

Vậy MaxP=4⇔x=y=z=2.