Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhẩ của .

Ta có: (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x² ≥ 0

⇔ 2x² – 2xy + 2y² – 2yz + 2z² – 2xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – xy – yz – xz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz ≥ 3xy + 3yz + 3xz

⇔ (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + xz)

⇔xy+yz+xz≤x+y+z23=323=3

Ta có

x+1y2+1=x+1.1y2+1=x+1.1−y2y2+1≥x+11−y22y=x+1−yx+12
y+1z2+1=y+1.1z2+1=y+1.1−z2z2+1≥y+1.1−z22z=y+1−zy+12
z+1x2+1=z+1.1x2+1=z+1.1−x2x2+1≥z+1.1−x22x=z+1−xz+12

Suy ra P≥x+1−yx+12+y+1−zy+12+z+1−xz+12

P≥x+y+z+3−yx+1+zy+1+xz+12P≥6−x+y+z+xy+yz+xz2
P≥6−3+32=3

Dấu “ = ” xảy ra khi x² = y² = z² = 1 hay x = y = 1

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z = 1.