Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn căn bậc hai {1 + 4xy + 2x + 2y}  + 2z = 5\)

a) Từ giả thiết ta có

                                    \(\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {2y + 1} \right)} = 5 - 2z.\)

Từ đó kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwwarz, ta được:

\(\frac{1}{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {2y + 1} \right)} }} + \frac{1}{{2z + 1}} = \frac{1}{{5 - 2z}} + \frac{1}{{2z + 1}} \ge \frac{4}{{5 - 2z + 2z - 1}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)

Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn \(x = y = z = 1\).

b) Ta thấy rằng

P = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{{2\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\left( {2y + 1} \right)}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{{2z + 1}} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{{2y + 1}}} \right) + \frac{1}{{2z + 1}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và sử dụng kết quả ở ý (a) ta được

P \( \ge \frac{3}{2} + \frac{1}{{\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {2y + 1} \right)} + }}\frac{1}{{2z + 1}} \ge \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{13}}{6}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1.\)