Cho các số thực dương x, y, z. Ta chứng minh được xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ 5(x + y + z). Dấu bằng xảy ra khi

Đáp án đúng là: B

Trong ba số x, y, z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có:

(x – 1)(y – 1) ≥ 0 ⇔ xy ≥ x + y – 1

Suy ra xyz ≥ xz + yz – z.

Do đó xyz + 2(x² + y² + z²) + 8 ≥ xz + yz – z + 2(x² + y² + z²) + 8

Nên ta chứng minh:

xyz + 2(x² + y² + z²) + 8 ≥ 5(x + y + z)

⇔ xz + yz – z + 2(x² + y² + z²) + 8 – 5(x + y) – 5z ≥ 0

⇔ f(z) = 2z² + (x + y – 6)z + 2(x² + y²) – 5(x + y) + 8 ≥ 0.

Tam thức f(z) có a = 2 > 0 và

Δ_z = (x + y – 6)² – 4.2.[ 2(x² + y²) – 5(x + y) + 8]

= x² + y² + 36 + 2xy – 12x – 12y – 8(2x² + 2y² – 5x – 5y + 8)

= –15x² – 15y² + 2xy + 28x + 28y – 28

= –15x² + 2(y + 14)x – 15y² + 28y – 28

Coi Δ_z là tam thức bậc hai ẩn x, có a = –15 < 0 và

Δ_x’ = (y + 14)² – (–15).(–15y² + 28y – 28)

= y² + 28y + 196 – 225y² + 420y – 420

= –224y² + 448y – 224

= –224(y – 1)² ≤ 0 với mọi y ∈ ℝ.

Nên Δ_z ≤ 0 với mọi x, y ∈ ℝ.

Vậy f(z) ≥ 0 với mọi x, y, z ∈ ℝ.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.