Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2^(x^2+y^1-1)+log3 (x^2+y^2+1)=3 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S=|x-y|+|x^3-y^3|= a căn6/b với a, b là các số nguyên dương và phân số a/b tối

Nhận xét hàm số  f(t)=2t−1+log3(t+1) đồng biến và f(2)=3, từ đó

2x2+y2−1+log3(x2+y2+1)=3⇔x2+y2=2.

S=|x−y|+|x3−y3|=|x−y|(1+x2+y2+xy)

⇔S2=(x−y)2(3+xy)2=(2−2xy)(3+xy)2

Đặt t=xy do |xy|≤x2+y22=1  nên t∈[−1;1].

Xét hàm số g(t)=(2−2t)(3+t)2 trên [−1;1] được maxt∈[−1;1]g(t)=g(−13)=51227 .

Do S>0 nên S2≤51227⇔S≤1669.

Vậy T=34.