Cho các số thực dương a , b thoả mãn log 2 2 a − 2 log 2 a + 2 + 2 ( log 2 a − 1 ) ⋅ sin ( log 2 a + b ) = 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2 a + 3 b bằng

Ta có:

\(\log _2^2a - 2{\log _2}a + 2 + 2({\log _2}a - 1) \cdot \sin ({\log _2}a + b) = 0\)

\( \Leftrightarrow \log _2^2a - 2{\log _2}a + 1 + 2({\log _2}a - 1) \cdot \sin ({\log _2}a + b) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {({\log _2}a - 1)^2} + 2({\log _2}a - 1) \cdot \sin ({\log _2}a + b) + {\sin ^2}({\log _2}a + b) + {\cos ^2}({\log _2}a + b) = 0\)

\( \Leftrightarrow {[({\log _2}a - 1) + \sin ({\log _2}a + b)]^2} + {\cos ^2}({\log _2}a + b) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}a - 1 + \sin ({{\log }_2}a + b) = 0}\\{{{\cos }^2}({{\log }_2}a + b) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}a - 1 + 1 = 0}\\{{{\log }_2}a - 1 - 1 = 0}\end{array}} \right.}\\{{{\log }_2}a + b = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = \frac{\pi }{2} - 1 + k\pi }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = \frac{\pi }{2} - 2 + k\pi }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

+ TH1: Nếu \(a = 1 \Rightarrow b \ge \frac{\pi }{2} - 1 \Rightarrow T \ge \frac{{3\pi }}{2} - 1\)

+ TH2: Nếu \(a = 4 \Rightarrow b \ge \frac{{3\pi }}{2} - 2 \Rightarrow T \ge \frac{{9\pi }}{2} + 1\)

Vậy \({T_{\min }} = \frac{{3\pi }}{2} - 1\)

Đáp án cần chọn là: D