Cho các số thực dương a, b thỏa mãn căn bậc hai log a + căn bậc hai log b + log căn bậc hai a + log căn bậc hai b = 100 và căn bậc hai log a, căn bâc hai log b, log căn bậc hai a , log căn

26/35

Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\sqrt {\log a} + \sqrt {\log b} + \log \sqrt a + \log \sqrt b = 100\) và \(\sqrt {\log a} \), \(\sqrt {\log b} \), \(\log \sqrt a \), \(\log \sqrt b \) đều là các số nguyên dương. Tính \(P = ab\).

\({10^{164}}.\)

\({10^{100}}.\)

\({10^{200}}.\)

\({10^{144}}.\)

Giải thích

Lời giải

Ta có \(\sqrt {\log a} + \sqrt {\log b} + \log \sqrt a + \log \sqrt b = 100\)

\( \Leftrightarrow \log a + \log b + 2\sqrt {\log a} + 2\sqrt {\log b} = 200\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\log a} + 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {\log b} + 1} \right)^2} = 202 = 81 + 121\) \(\left( * \right)\).

Mà \(\sqrt {\log a} \), \(\sqrt {\log b} \), \(\log \sqrt a \), \(\log \sqrt b \) đều là các số nguyên dương nên

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\log a} + 1 = 9\,}\\{\sqrt {\log b} + 1 = 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\log a} + 1 = 11}\\{\sqrt {\log b} + 1 = 9\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log a = 64\,\,}\\{\log b = 100}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log a = 100}\\{\log b = 64\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {{10}^{64}}\,\,}\\{b = {{10}^{100}}}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {{10}^{100}}\,\,}\\{b = {{10}^{64}}\,\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(P = ab = {10^{64}} \cdot {10^{100}} = {10^{164}}.\) Chọn A.