Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a^2 + b^2 = 9ab. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: a² + b² = 9ab. Cộng 2 vế của phương trình với 2ab:

⇔ a² + 2ab + b² = 11ab ⇔ (a + b)² = 11ab.

b) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)² = 11ab

Lấy ln hai vế, ta được:

ln(a + b)² = ln(11ab) ⇔ 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

c) Sai. Theo câu b), ta có: 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

⇔ 2ln(a + b) – ln11 = lna + lnb ⇔ ln(a + b)² – ln11 = lna + lnb

⇔ \(\ln \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{11}}\) = lna + lnb ⇔ \(\ln {\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}} \right)^2}\) = lna + lnb

⇔ 2\(\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}\) = lna + lnb ⇔ \(\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}\) = \(\frac{{\ln a + \ln b}}{2}\) ≠ lna + lnb.

d) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)² = 11ab ⇔ \(\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab}}\) = 11

⇔ \(\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}\) = \(\sqrt {11} \)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:

\({\log _3}\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}\) = \({\log _3}\sqrt {11} \) ⇔ log₃(a + b) – \({\log _3}\sqrt {ab} \) = \({\log _3}{11^{\frac{1}{2}}}\)

⇔ log₃(a + b) – \({\log _3}\sqrt {ab} \) = \(\frac{1}{2}\)log₃11.