Cho các số thực dương \(a,b\) thảo mãn \(a + {b^3} = 29\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có \(a + {b^3} = 29 \Leftrightarrow a = 29 - {b^3}\) do đó \(P = {a^2} + {b^4} - 19 = {\left( {29 - {b^3}} \right)^2} + {b^4} - 19 = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 822\)

Ta có \(P = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 822 = {b^6} + {b^4} - 58{b^3} + 756 + 66\)\( = {\left( {b - 3} \right)^2}.\left( {{b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84} \right) + 66\)

Do \({b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84 > 0,\forall b > 0\) nên \(P = {\left( {b - 3} \right)^2}.\left( {{b^4} + 6{b^3} + 28{b^2} + 56b + 84} \right) + 66 \ge 66\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b = 3\).

Vậy \(\min P = 66\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho \(n\) số dương tổng quát ta có \({a^2} + 4 \ge 4a\) và

\({b^4} + {b^4} + {b^4} + {3^4} \ge 4.\sqrt[4]{{{{\left( {{b^4}} \right)}^3}{{.3}^4}}} = 12{b^3}\) suy ra \(3{b^4} + 81 \ge 12{b^3}\) hay \({b^4} + 27 \ge 4{b^3}\)

Do đó \({a^2} + {b^4} + 31 \ge 4a + 4{b^3} = 116\) hay \(P = {a^2} + {b^4} - 19 \ge 66\)

Dấu bằng xảy ra ở các BĐT trên là \(a = 2\) và \(b = 3\).

Vậy \(\min P = 66\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).