Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \[a + b + c = 3\]. Tìm giá trị lớn nhất

Với điều kiện \(a + b + c = 3\)   ta có \(3a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c)\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có

\(\sqrt {3a + bc}  = \sqrt {(a + b)(a + c)}  \le \frac{{a + b + a + c}}{2} = \frac{{2a + b + c}}{2}\)

Tương tự ta có \(\sqrt {3b + ca}  \le \frac{{a + 2b + c}}{2}\)

                          \(\sqrt {3c + ab}  \le \frac{{a + b + 2c}}{2}\)

Suy ra \(A \le \frac{{4(a + b + c)}}{2} = 2(a + b + c) = 6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 3\\a + b = b + c = c + a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) bằng \(6\) khi \(a = b = c = 1\).