Cho các số thực dương \(a,b,c\) thõa \(a + b + c = 2024.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Cách 1: Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{a + \sqrt {2024a + bc} }} = \frac{a}{{a + \sqrt {(a + b + c)a + bc} }} = \frac{a}{{a + \sqrt {(a + b)(a + c)} }} = \frac{{a(\sqrt {(a + b)(a + c)}  - a)}}{{(a + \sqrt {(a + b)(a + c)} ) \cdot (\sqrt {(a + b)(a + c)}  - a)}}\,\\ = \frac{{a(\sqrt {(a + b)(a + c)}  - a)}}{{(a + b)(a + c) - {a^2}}} = \frac{{a(\sqrt {(a + b)(a + c)}  - a)}}{{ab + bc + ac}}\end{array}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \({\rm{a}} + {\rm{b}}\) và \({\rm{a}} + {\rm{c}}\), ta có :

\(\sqrt {(a + b)(a + c)}  \le \frac{{a + b + a + c}}{2} = \frac{{2a + b + c}}{2}\)

Do đó: \(\frac{a}{{a + \sqrt {2024a + bc} }} = \frac{{a(\sqrt {(a + b)(a + c)}  - a)}}{{ab + bc + ac}} \le \frac{{a\left( {\frac{{2a + b + c}}{2} - a} \right)}}{{ab + bc + ac}} = \frac{{ab + ac}}{{2(ab + bc + ac)}}\)

Tương tự: \(\frac{b}{{b + \sqrt {2024b + ca} }} \le \frac{{bc + ab}}{{2(ab + bc + ac)}}\)

                  \(\frac{c}{{c + \sqrt {2024c + ab} }} \le \frac{{ac + bc}}{{2(ab + bc + ac)}}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({\rm{P}} \le \frac{{2(ab + bc + ca)}}{{2(ab + bc + ca)}} = 1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = c}\\{a + b + c = 2024}\end{array} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{2024}}{3}} \right.\)

Vậy GTLN của P là 1 khi \(a = b = c = \frac{{2024}}{3}\)

Cách 2: Ta có 2024a \( + {\rm{bc}} = ({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}) \cdot {\rm{a}} + {\rm{bc}} = {{\rm{a}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{ac}} + {\rm{bc}} = ({\rm{a}} + {\rm{b}})({\rm{a}} + {\rm{c}})\)

Tương tự: \(\quad 2024b + ca = (b + c)(b + a)\)

\(2024c + ab = (c + a)(c + b)\)

Do đó \({\rm{P}} = \frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + \sqrt {(a + b)(a + c)} }} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + \sqrt {(a + b)(a + c)} }} + \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + \sqrt {({\rm{a}} + {\rm{c}})(b + c)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

\(\sqrt {(a + b)(c + a)}  = \sqrt {\left( {{{(\sqrt a )}^2} + {{(\sqrt b )}^2}} \right) \cdot \left( {{{(\sqrt c )}^2} + {{(\sqrt a )}^2}} \right)}  \ge \sqrt {ac}  + \sqrt {ab} \)

Suy ra \(\frac{a}{{a + \sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \frac{a}{{a + \sqrt {ac}  + \sqrt {ab} }} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c }}\)

Tương tự \(\frac{b}{{b + \sqrt {(a + b)(a + c)} }} \le \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c }};\frac{c}{{c + \sqrt {(a + c)(b + c)} }} \le \frac{{\sqrt c }}{{\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c }}\)

Do đó \({\rm{P}} \le \frac{{\sqrt {\rm{a}}  + \sqrt {\rm{b}}  + \sqrt {\rm{c}} }}{{\sqrt {\rm{a}}  + \sqrt {\rm{b}}  + \sqrt {\rm{c}} }} = 1\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c = 2024}\\{a = b = c}\end{array} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{2024}}{3}} \right.\).