Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab/a + b + 2c + bc/b + c + 2a + ca/c + a + 2b

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y≤141x+1y với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

1x+y≤141x+1y⇔1x+y≤x+y4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x2+2xy+y2−4xy≥0

⇔x2−2xy+y2≥0⇔(x−y)2≥0 (luôn đúng)

Do đó: 1x+y≤141x+1y với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)≤14(1a+c+1b+c)⇒aba+b+2c≤ab41a+c+1b+c

Tương tự ta có: bcb+c+2a≤bc41b+a+1c+acac+a+2b≤ca41c+b+1a+b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤ab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b

=14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c)

Do đó VT≤14VP (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.