Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 và 1/log cơ số b của a + 1/log cơ số a của b = căn bậc hai 2029. Giá trị của biểu thức P = 1/log cơ số a của b nhân b − 1/log cơ số a của b nhân a bằng
Giải thích
Đáp án: 45
Phương pháp giải.
Sử dụng các tính chất của hàm lôgarit.
Lời giải chi tiết.
Do \(a > b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\), \({\log _b}a > 0\) và \({\log _b}a > {\log _a}b\).
Ta có. \(\frac{1}{{{{\log }_b}a}} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \sqrt {2029} \Leftrightarrow {\log _b}a + {\log _a}b = \sqrt {2029} \).
Bình phương hai vế. \(\log _b^2a + \log _a^2b + 2 = 2029 \Leftrightarrow \log _b^2a + \log _a^2b = 2027\) (*).
Khi đó, \(P = {\log _b}(ab) - {\log _a}(ab) = {\log _b}a + {\log _b}b - {\log _a}a - {\log _a}b = {\log _b}a - {\log _a}b\).
Suy ra. \({P^2} = {({\log _b}a - {\log _a}b)^2} = \log _b^2a + \log _a^2b - 2 = 2027 - 2 = 2025 \Rightarrow P = \sqrt {2025} = 45\).