Cho các số thực a,b thỏa mãn a > b > 1 và 1/log a của b+1/log b của a = căn bậc hai 2021. Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị biểu thức m/log(ab) của b - m/log (ab) của a = 2022

26/35

Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > b > 1\) và \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_b}a}} = \sqrt {2021} \). Tìm giá trị của tham số thực \[m\] để giá trị biểu thức \(\frac{m}{{{{\log }_{ab}}b}} - \frac{m}{{{{\log }_{ab}}a}} = 2022\).

\(m = \frac{{2017}}{{\sqrt {2022} }}\).

\(m = \frac{{2022}}{{\sqrt {2017} }}\).

\(m = \sqrt {2020} \).

\(m = \sqrt {2017} \).

Giải thích

Lời giải

Do \(a > b > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0\), \({\log _b}a > 0\), \({\log _b}a > {\log _a}b\).

Ta có: \(\frac{1}{{{{\log }_b}a}} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = \sqrt {2021} \Leftrightarrow {\log _a}b + {\log _b}a = \sqrt {2021} \).

Do đó, \(\frac{m}{{{{\log }_{ab}}b}} - \frac{m}{{{{\log }_{ab}}a}} = 2022 \Leftrightarrow m\left( {{{\log }_b}a + 1} \right) - m\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = 2022\)\( \Leftrightarrow m\left( {{{\log }_b}a - {{\log }_a}b} \right) = 2022\,\,\left( * \right)\).

Mặt khác \[{\left( {{{\log }_b}a - {{\log }_a}b} \right)^2} = {\left( {{{\log }_b}a + {{\log }_a}b} \right)^2} - 4 = \]\[2021 - 4 = 2017 \Rightarrow {\log _b}a - {\log _a}b = \sqrt {2017} \].

Do vậy, \[\left( * \right) \Leftrightarrow m = \frac{{2022}}{{\sqrt {2017} }} = \frac{{2022\sqrt {2017} }}{{2017}}\]. Chọn B.