Cho các số thực \(a,\,b\) thoả mãn: \(a > 0,\,\,b > 0\) và

Ta có: \[\]\[{\left( {a + b} \right)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\]

Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\] (theo AM – GM)

\[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} - 2 \le 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {a + b - 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2} \right] \le 0\]

\[ \Leftrightarrow a + b - 1 \le 0\]( vì \[{\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2 > 0\] với \(a > 0,b > 0\))

\[ \Leftrightarrow a + b \le 1\].

 Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\]        \[\left(  *  \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức \[\left(  *  \right)\], ta được:

\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 4\] (vì \[a + b \le 1\])

Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[1 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow 1 \ge 4ab \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\]

\[ \Rightarrow M = \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = \left( {\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge 4 + 2 \Leftrightarrow M \ge 6\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = \frac{1}{2}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[M\] là \[6\] khi \[a = b = \frac{1}{2}.\]