Cho các số thực a, b thỏa mãn 1 < a < b và log cơ số a của b + log cơ số b của a^2 = 3.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ và giải phương trình logarit.

Giải chi tiết:

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}{a^2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_b}a}} + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a = 3\)

\( \Leftrightarrow 2\log _b^2a - 3{\log _b}a + 1 = 0\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a,\) ta có \(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a = 1}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b\left( {KTM} \right)}\\{a = \sqrt b \left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

                                      \( \Rightarrow b = {a^2}\)

Vậy \(T = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{ab}}\frac{{{a^2} + b}}{2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{a^3}}}{a^2} = \frac{2}{3}.\)