Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2−2a−4b=4. Tính P=a+2b+3c khi biểu thức 2a+b−2c+7 đạt giá trị lớn nhất.

Chọn B

Cách 1: phương pháp đại số.

Ta có: a2+b2+c2−2a−4b=4⇔a−12+b−22+c2=9.

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:

2a+b−2c+7=2a−1+b−2−2c+11≤2a−1+b−2−2c+11BCSa−12+b−22+c222+12+−22+11=20.

Đẳng thức xảy ra khi: 2a−1+b−2−2c>0a−12=b−21=c−2a−12+b−22+c2=9⇔a=3b=3c=−2

Khi đó: P=a+2b+3c=3+2.3+3.−2=3.

Cách 2: phương pháp hình học.

Trong không gian Oxyz, gọi mặt cầu S có tâm I1;2;0, bán kính R=3. Khi đó:

S:x−12+y−22+z2=9⇔x2+y2+z2−2x−4y=4.

và mặt phẳng P:2x+y−2z+7=0.

Gọi Ma;b;c, ta có:dM;P=2a+b−2c+73.

Vì a2+b2+c2−2a−4b=4⇒M∈S.

Bài toán đã cho trở thành: Tìm M∈S sao cho dM;P lớn nhất.

Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc P⇒Δ:x=1+2ty=2+tz=−2t.

Điểm M cần tìm chính là 1 trong 2 giao điểm của Δ với S:M13;3;−2,M2−1;1;2.

Ta có: dM1;P=203>dM2;P=23⇒MaxdM;P=203⇔M≡M1.

Vậy P=a+2b+3c=3+2.3+3.−2=3.