Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a+ c > 8+ 2b và a+b+c<-1 . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình

Xét phương trình: x3+ax2+bx+c=01

Đặt: fx=x3+ax2+bx+c

Từ giả thiết 4a+c>8+2b⇒−8+4a−2b+c>0a+b+c<−1⇒1a+b+c<0⇒f1<0

Do đó f−2.f1<0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong −2;  1

Ta nhận thấy:

limx→−∞fx=−∞ mà f−2>0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm α∈−∞;  −2

Tương tự: limx→+∞fx=+∞ mà f1<0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm β∈1;  +∞

Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.