Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1

48/50

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \[4a + c > 8 + 2b\] và \[a + b + c < - 1\]. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\] bằng

Giải thích

Chọn C

Xét phương trình: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1 (ảnh 1)

Đặt: \[f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\]

Từ giả thiết \[\left\{ \begin{array}{l}4a + c > 8 + 2b \Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0\\a + b + c < - 1 \Rightarrow 1a + b + c < 0 \Rightarrow f\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.\]

Do đó \[f\left( { - 2} \right).f\left( 1 \right) < 0\] nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong \[\left( { - 2;\,\,1} \right)\]

Ta nhận thấy:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \] mà \[f\left( { - 2} \right) > 0\] nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm \[\alpha \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right)\]

Tương tự: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \] mà \[f\left( 1 \right) < 0\] nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm \[\beta \in \left( {1;\,\, + \infty } \right)\]

Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.