Cho các số thực a,b,c thỏa mãn

Bằng các phép biến đổi giả thiết, ta có

\(3\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + 4{b^2} + {c^2} + 2ab + 12 - 12b\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} + 3{\left( {b - 2} \right)^2}\, \ge \,{\left( {a + b} \right)^2} + {c^2}\)

Bằng biến đổi bất đẳng thức kết hợp cộng mẫu, ta được

\(3\left( {a + b + c} \right)\, \ge \,{\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{2}\)

Do đó \(a + b + c\, \le \,6\) suy ra \({\left( {a + b} \right)^2} + {c^2} \le 18\). Khi đó, bằng các phép biến đổi ta có

\(T\, = \,\frac{{{a^3}}}{{a + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\, + \,\frac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\, \ge \,\frac{{{a^2}}}{{a + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{a + {c^2}}}\)

\( \ge \,\frac{{4{a^2}}}{{2a + {{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}}}\)

\( \ge \,\frac{{4{a^2}}}{{2a + 18}} = \frac{{2{a^2}}}{{a + 9}}\, \ge \,\frac{{2{a^2}}}{{10a}} = \frac{a}{5} \ge \frac{1}{5}\)

Từ đây ta được \(MinT = \,\frac{1}{5}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {a,b,c} \right)\, = \,\left( {1,2,3} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\, = \,\frac{1}{5}\)