Cho các số thực \[a,b,c\] sao cho phương trình

Phương trình  \[{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c + 2023 = 0\] nhận \[x = 1\] là nghiệm ta có: \[a + b + c + 2023 = 0 \Leftrightarrow a + b + c =  - 2023\] với mọi \[a,b,c \in \] R  ta có:

\[{(a - b)^2} \ge 0;{(b - c)^2} \ge ;{(c - a)^2} \ge 0.\]

Khi đó: \[P = \sqrt {3{a^2} - 2ab + 3{b^2}}  + \sqrt {5{b^2} - 6bc + 5{c^2}}  + \sqrt {6{c^2} - 8ca + 6{a^2}} \]

 \[P = \sqrt {{{(a + b)}^2} + 2{{(a - b)}^2}}  + \sqrt {{{(b + c)}^2} + 4{{(b - c)}^2}}  + \sqrt {{{(c + a)}^2} + 5{{(c - a)}^2}} \]

\[ \ge \sqrt {{{(a + b)}^2}}  + \sqrt {{{(b + c)}^2}}  + \sqrt {{{(c + a)}^2}} \]

\[ = \left| {a + b} \right| + \left| {b + c} \right| + \left| {c + a} \right|\]

\[ \ge \left| {2(a + b + c)} \right| = 2.2023 = 4046\]

Dấu “=” xảy ra khivaf chỉ khi \[a = b = c = \frac{{ - 2023}}{3}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P\] là \[4046\] khi \[a = b = c = \frac{{ - 2023}}{3}\]