Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

5/5

\(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge \frac{3}{2}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Với các số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} = a - \frac{{ab}}{{{a^2} + b}} \ge a - \frac{{ab}}{{2a\sqrt b }} = a - \frac{{\sqrt b }}{2};\)

Tương tự: \(\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} = b - \frac{{bc}}{{{b^2} + c}} \ge b - \frac{{bc}}{{2b\sqrt c }} = b - \frac{{\sqrt c }}{2};\)

\(\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} = c - \frac{{ca}}{{{c^2} + a}} \ge c - \frac{{ca}}{{2c\sqrt a }} = c - \frac{{\sqrt a }}{2}.\)

Vậy:

\(P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge a - \frac{{\sqrt b }}{2} + b - \frac{{\sqrt c }}{2} + c - \frac{{\sqrt a }}{2} = \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)\)

Mặt khác, ta có:

\({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

\( \Leftrightarrow 3\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt 3 \sqrt {\left( {a + b + c} \right)} \ge \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \)

\( \Leftrightarrow - \left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right) \ge - \sqrt 3 \sqrt {a + b + c} = - 3\)

\( \Rightarrow P \ge 3 - \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(P \ge \frac{3}{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\\{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)