Cho các số phức w, z thỏa mãn | w + i | = 3 √ 5/5 và 5 w = ( 2 + i ) ( z − 4 ) . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = | z − 1 − 2 i | + | z − 5 − 2 i | bằng

90/100

Cho các số phức w, z thỏa mãn $|w + i| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$ và $5w = (2 + i)(z - 4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i|$ bằng

$6\sqrt 7 $.

$4 + 2\sqrt {13} $.

$2\sqrt {53} $.

$4\sqrt {13} $.

Giải thích

Gọi $z = x + yi$, với $x,y \in \mathbb{R}$. Khi đó $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$.

Theo giả thiết, $5w = (2 + i)(z - 4) \Leftrightarrow 5(w + i) = (2 + i)(z - 4) + 5i$

$ \Leftrightarrow (2 - i)(w + i) = z - 3 + 2i$

$ \Leftrightarrow |z - 3 + 2i| = 3$. Suy ra $M(x;y)$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; - 2)$, bán kính $R = 3$.

Ta có $P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i| = MA + MB$, với $A(1;2)$ và $B(5;2)$.

$Cho các số phức w, z thỏa mãn $|w + i| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$ và $5w = (2 + i)(z - 4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i|$ bằng A. $6\sqrt 7 $. B. $4 + 2\sqrt {13} $. C. $2\sqrt {53} $. D. $4\sqrt {13} $. (ảnh 1)$

Gọi $H$ là trung điểm của AB, ta có $H(3;2)$ và khi đó:

$P = MA + MB \le \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} {\rm{ hay }}P \le \sqrt {4M{H^2} + A{B^2}} {\rm{. }}$

Mặt khác, $MH \le KH$ với mọi $M \in (C)$ và $K(3; - 5) = HI \cap (I)$ nên

$P \le \sqrt {4K{H^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{4.7}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {53} .$

Vậy ${P_{\max }} = 2\sqrt {53} $ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \equiv K}\\{MA = MB}\end{array}} \right.$ hay $z = 3 - 5i$ và $w = \frac{3}{5} - \frac{{11}}{5}i$.

Chọn C