Cho các số nguyên tố p, q thỏa mãn p^2 − 2q^2 = 17. Tính p + q.

Lời giải

Vì p, q là các số nguyên tố nên p.q > 1

Lại có p² − 2q²=17Þp² > 17Þ p ≥ 5

* Xét p = 5, thay vào ta có q = 2.

Khi đó, p + q = 7.

* Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k Î ℤ⁺).

• Với p = 6k + 1, ta có:

(6k + 1)² − 2q² = 17

Û 36k² + 12k + 1 − 2q² = 17

Û 36k² + 12k − 2q² = 16

Û 18k² + 6k − q² = 8

Ta thấy VP ⋮ 2 nên VT ⋮ 2

Mà 18k² + 6k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2

Thay vào ta được p = 5

• Với p = 6k + 5, ta có:

(6k + 5)² − 2q² = 17

Û 36k² + 60k + 25 − 2q² = 17

Û 36k² + 60k − 2q² = −8

Û 18k² + 30k − q² = −4

Ta thấy VP ⋮ 2 Þ VT ⋮ 2

Mà 18k² + 30k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2.

Thay vào ta được p = 5.

Vậy p + q = 7.