Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn (2x + 3y)^2 + 5x + 5y + 1 là số chính phương. Chứng minh rằng x = y.

Ta có: (2x + 3y)² < (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 < (2x + 3y + 2)²

Do đó để (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 là số chính phương thì (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 = (2x + 3y + 1)²

Khi đó: (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 = (2x + 3y + 1)²

⇔ (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 = [(2x + 3y) + 1)]²

⇔ (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 = (2x + 3y)² + 2(2x + 3y) + 1

⇔ (2x + 3y)² + 5x + 5y + 1 = (2x + 3y)² + 4x + 6y + 1

⇔ 5x + 5y = 4x + 6y

⇔ x = y

Vậy x = y.