Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + {{b + {log }_2}5} / {c + {log }_2}3 = log _6}45. Tổng a + b + c bằng

Đáp án đúng là "1"

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:

\({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}(0 < a,c \ne 1,b > 0)\)

\({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,(0 < a \ne 1,x,y > 0)\)

\({\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b\,\,(0 < a \ne 1,b > 0)\)

Lời giải

Ta có:

\(a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = {\log _6}45 \Leftrightarrow a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}}\)

\( \Leftrightarrow a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2}.5} \right)}}{{{{\log }_2}(2.3)}} \Leftrightarrow a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)

\( \Leftrightarrow a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = \frac{{2 + 2{{\log }_2}3 - 2 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)

\( \Leftrightarrow a + \frac{{b + {{\log }_2}5}}{{c + {{\log }_2}3}} = 2 + \frac{{ - 2 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(a = 2,b =  - 2,c = 1\).

Vậy \(a + b + c = 2 + ( - 2) + 1 = 1\).