Cho các số dương x , y thỏa mãn x + y + xy = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P = x^2 + y^2 .

Ta có \({(x - y)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), \(y \in \mathbb{R}\)
Do đó \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\) hay \({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)
Suy ra \(xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\) với mọi \(x\), \(y > 0\)
Vì \(3 = x + y + xy\)\( \le x + y + \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\) nên \(\left( {x + y + 6} \right)\left( {x + y - 2} \right) \ge 0\)
Suy ra \(x + y \ge 2\) (do \(x + y + 6 > 0\) với mọi \(x\), \(y > 0\))
Vì \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\) với mọi \(x\), \(y \in \mathbb{R}\) nên \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)Hay \(2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {(x + y)^2}\) với mọi \(x\), \(y \in \mathbb{R}\).Suy ra \(2P \ge 4\) hay \(P \ge 2\)
Dấu " \( = \) " xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1\).