Cho các số dương x, y thỏa mãn x + 3y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x^2y^2 + 2025)/xy.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(3y\) ta có: \(x + 3y \ge 2\sqrt {x.3y}  = 2\sqrt 3 .\sqrt {xy} \)

Suy ra: \(2\sqrt 3 .\sqrt {xy}  \le 6\) nên \(\sqrt {xy}  \le \sqrt 3 \) suy ra \(xy \le 3\).

Ta có: \(A = \frac{{{x^2}{y^2} + 2025}}{{xy}} = xy + \frac{{2025}}{{xy}} = xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(xy\) và \(\frac{9}{{xy}}\) ta có:

\(xy + \frac{9}{{xy}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{9}{{xy}}}  = 6\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = \frac{9}{{xy}} \Rightarrow xy = 3\).

Ta có: \(xy \le 3\) nên \(\frac{{2016}}{{xy}} \ge 672\). Dấu “=” xảy ra khi \(xy = 3\).

Từ đó suy ra: \(xy + \frac{9}{{xy}} + \frac{{2016}}{{xy}} \ge 3 + 672 = 675\) hay \(A \ge 675\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\{\rm{x}} + 3y = 6\end{array} \right.\). Giải tìm được \(x = 3;y = 1\) (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(675\) đạt được khi \(x = 3;y = 1\).