Cho các số dương x, y thỏa mãn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án: 127

Phương pháp giải:- Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn x3 theo y.

- Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.

Giải chi tiết: Ta có: 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4

⇔2x3+2x+2−2x−y−1=2x+y2x3+4x+4

⇔2x3+2x+222x+y.2=2x+y2x3+2x+2

⇔2x3+2x+2x3+2x+2=22x+y.2x+y*

Xét ft=2t.t,t>0 ta có: f't=2t+t.2t.ln2>0;∀t>0.

Do đó hàm số ft đồng biến trên 0;+∞.

Do đó *⇔x3+2x+2=2x+y⇒x3=y−2.

Khi đó P=7y+x37=7y+y−27=7y+y7−27≥27y.y7−27=127.

Dấu “=” xảy ra ⇔7y=y7⇔y=7doy>0.

Vậy: Pmin=127⇔x=53,y=7.