Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a + b +c = 2019 

Ta có:

42a2+ab+2b2=5a2+2ab+b2+3a2−2ab+b2=5a2+b2+3a−b2≥5a+b2,doa−b2≥0

Vì a,b dương nên:

22a2+ab+2b2≥5a+b⇔2a2+ab+2b2≥52a+b(1)

Dấu "=" xảy ra khi a= b 

Chứng minh tương tự để có:

2b2+bc+2c2≥52b+c(2),

Dấu “=” xảy ra khi b=c

Và 2c2+ca+2a2≥52c+a(3), Dấu "=" xảy ra khi c=a 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức 1,2,3 ta được:

2a2+ab+2b2+2b2+bc+2c2+2c2+ca+2a2≥52.2a+b+c=20195

Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=ca+b+c=2019⇔a=b=c=673

Vậy Pmin=20195⇔a=b=c=673