Cho các số dương \[a;b;c\] thỏa mãn căn bậc hai {a + b + ab + 1}  + c = 6\]. Chứng minh rằng:

a)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

\[\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} \] \[ \Rightarrow \sqrt {ab + a + b + 1}  \le \frac{{a + b + 2}}{2}\]

\[ \Rightarrow 6 = \sqrt {ab + a + b + 1}  + c \le \frac{{a + b + 2}}{2} + c\]

\[ \Rightarrow a + b + 2 + 2c \ge 12\]

Suy ra \[a + b + 2c \ge 10\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt {a + 1}  = \sqrt {b + 1}  \Leftrightarrow a = b\]

Vậy \[a + b + 2c \ge 10\].

b) Ta có:

\[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} - 2 + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} - 2 + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} - 2 \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{a + 1}} + \frac{{ - 1}}{{b + 1}} + \frac{{ - 2}}{{c + 2}} \ge  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \le 1\end{array}\]

Ta có: \[\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{2}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)} }} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\sqrt {(a + 1)(b + 1)}  + c + 2}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{2}{{c + 2}} \ge \frac{8}{{\frac{{a + b + 2}}{2} + c + 2}} = \frac{{16}}{{a + b + 2c + 6}} \ge \frac{{16}}{{10 + 6}} = 1\,\,\](đpcm)

Vậy \[\frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{a + 1}} + \frac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{2c + 2}}{{c + 2}} \le 5\].