Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc

Biến đổi giá trị thiết ta được: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\)

Ta có: \(\frac{a}{{{a^2} + bc}} \le \frac{a}{{2a\sqrt {bc} }} = \frac{1}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{4}.\frac{2}{{\sqrt {bc} }} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{{{b^2} + ca}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right)\);\(\frac{c}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\)

Vậy \(\frac{a}{{{a^2} + bc}} + \frac{b}{{{b^2} + ca}} + \frac{c}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{4}.2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{2}{4}.3 = \frac{3}{2}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)