Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a ≠ 1 , log3(a) + b = 0 , log(ab) = 1 c , l n bc = c − b . Tổng S = a + b + c nằm trong khoảng nào cho dưới đây?

85/100

Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a \ne 1,{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a + b = 0,{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b = \frac{1}{c},{\rm{ln}}\frac{b}{c} = c - b\). Tổng \(S = a + b + c\) nằm trong khoảng nào cho dưới đây?

\(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

\(\left( {\frac{6}{5};\frac{3}{2}} \right)\).

\(\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

\(\left( {3;\frac{7}{2}} \right)\).

Giải thích

Ta có : \({\rm{ln}}\frac{b}{c} = c - b \Leftrightarrow {\rm{ln}}b + b = {\rm{ln}}c + c \Leftrightarrow b = c\) (vì hàm số \(y = {\rm{ln}}x + x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right))\).

Mặt khác, \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a + b = 0 \Leftrightarrow a = {3^{ - b}}\).

Với \(b = c\) và \(a = {3^{ - b}}\) thì \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b = \frac{1}{c} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{3^{ - b}}}}b = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{b}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{3^{ - 1}}}}b = \frac{1}{b} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{3^{ - 1}}}}b = 1 \Leftrightarrow b = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(a = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}},b = c = \frac{1}{3}\). Vì vậy \(S = a + b + c = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}} + \frac{2}{3} \in \left( {\frac{6}{5};\frac{3}{2}} \right)\).

Chọn B