Cho các phương trình sau. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x > 0.

log₃x = 4 ⇒ x = 3⁴ = 81 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 81.

b) Đúng. Điều kiện: 2x – 2 > 0 ⇒ x > 1.

Vậy phương trình có điều kiện nghiệm là x > 1.

c) Đúng. Điều kiện: x² + 5x + 10 > 0 (*)

Ta có: log₄(x² + 5x + 10) = 2

⇔ x² + 5x + 10 = 4² ⇔ x² + 5x – 6 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\).

Thay lần lượt hai giá trị này vào (*), ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}{1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 16 > 0\\{( - 6)^2} + 5 \cdot ( - 6) + 10 = 16 > 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {–6; 1}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–6) + 1 = –5.

d) Sai. 3 ⋅ e^2x+4 = 4 ⇔ e^2x+4 = \(\frac{4}{3}\)

Lấy ln cả hai vế, ta được: 2x + 4 = ln\(\left( {\frac{4}{3}} \right)\) ⇔ 2x = ln\(\left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 4 ⇔ x = \(\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 2.

Vậy phương trình có một nghiệm là x = \(\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)\) – 2.